Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам так называемых иррациональных чисел.

В XVII в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближенных вычислений. Отчетливое определение понятия действительного числа дается одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка дает единое определение действительного числа, рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. XIX в., понятие действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности (Р. Дедекинд, Г. Кантора и К. Вейерштрасса).