Заключительный этап в развитии понятия числа — введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков XVI в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием решения уравнений 3-й & 4-й степеней.

С открытием алгебраического решения уравнений 3-й степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все 3 корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий.

В конце XVIII в. было осуществлено геометрическое истолкование комплексных чисел в виде точек на плоскости и установлении несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Еще до Гаусса, в работах Л. Эйлера комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе.

Совокупность всех комплексных чисел обладает так же, как совокупность действительных чисел и рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к арифметическим действиям. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение к комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел.